Aritmética sobre Torres de Campos Finitos de característica dos, aplicada a la generación de polinomios primitivos

Abstract

Con el avance de la Criptograf´ıa y las nuevas herramientas puestas a su disposici´on, la seguridad de los lgoritmos criptogr´aficos se basa principalmente en el empleo de campos finitos de grandes dimensiones lo que dificulta la aritm´etica sobre ellos, adem´as los sistemas sim´etricos que emplean polinomios primitivos sobre estos campos, tambi´en presentan grandes dificultades para la determinaci´on de los mismos. En este trabajo se analizan las torres de campos finitos como herramienta para lograr una aritm´etica eficiente, tambi´en se exponen ejemplos de estas, a trav´es de la representaci´on de los elementos, pertenecientes a campos de caracter´ıstica dos en bases normales, haciendo ´enfasis en la operaci´on de exponenciaci´on. Por ´ultimo, se propone el empleo de torres de campos sobre bases normales en el c´alculo del polinomio m´ınimo, operaci´on fundamental y de mayor complejidad en el algoritmo de generaci´on de polinomios primitivos de E. Madarro en 2017.

With the advancement of cryptography and the new tools made available, the security of cryptographic algo-rithms is based mainly on the use of finite fields of big dimensions what makes difficult the arithmetic on them, besides the symmetrical systems that use primitive polynomials on these fields, also present great dif- ficulties for the determination of the same. In this work we analyze the towers of finite fields as a tool for efficient arithmetic, examples of these are also given, through the representation of the elements, belonging to fields of characteristic two on normal bases, emphasizing in exponentiation operation. Finally, is analyzed a proposal that employs towers with representation on normal bases in the algorithm of generation of primitive polynomials exposed by E. Madarro in 2017.